Kpitel 5 Gvittionstheoie Ausgebeitet von G. Knup und H. Wlitzki 5. Gvittionskft - Gvittionsfeld Die Gundidee zu Gvittionstheoie stmmt von Newton (643-727): Die Kft, die einen Apfel fllen lässt, ist die gleihe, die den Mond in eine Bhn um die Ede zwingt, die Ede in eine Bhn um die Sonne usw. In llen ällen ziehen sih Mssen einnde n. Die Kft, mit de sie sih nziehen, ist bhängig von de Göße diese Mssen und ihem Abstnd voneinnde. Aus dem Lex Teti (Atio = Retio) folgt, dss es sih um eine beideseitige Anziehung hndelt, lso de Apfel von de Ede und die Ede vom Apfel ngezogen wid. Duh Messungen ehielt mn: = γ mm 2 2 2 γ wid Gvittionskonstnte gennnt und ist: [ N = kg m ] se 2 (5.) γ = 6, 67 0 [Nm 2 kg 2 ] γ = 6, 67 0 8 [m 3 g se ] Die Gvittionskft zeigt imme in Rihtung des Einheitsvektos ˆ = 2 2 de ebindungssteke zwishen beiden Mssen (Zentlkft) und wikt imme nziehend. N = Newton ist die Einheit de Kft. 2 = γ m m 2 2 3 ( 2 ) 2 ist die Kft uf ds este Teilhen ls Wikung des zweiten Teilhens. D die Gvittionskft konsevtiv und zentl ist, können wi sie ls Gdient eine potentiellen Enegie sheiben, die nu vom Betg von 2 bhängt. 2 = U( 2 ) = x y z U( 2 ) = Ode umgekeht können wi die potentielle Enegie sheiben ls: U x U y U z (5.2) = 2 U 2 = U( 2 ) = m m 2 2 d = γ 2 (5.3) 85
Ist die Msse m 2 kein Mssenpunkt, sonden usgedehnt (lso us veshiedenen Mssepunkten zusmmengesetzt), so ddieen sih die Wikungen lle einzelnen Mssepunkte uf die Msse m (Supeposition). Mn muss lso lle einzelnen Käfte ufsummieen. ( ) = n i= γ m m i i 3 ( i) (5.4) m ( ) i m i m 3 m 2 m i 0 Abb. 5.: Ist m 2 eine Msse mit dem olumen und de Dihte ρ, so geht die Summe in ein Integl übe: ρ( ) ( ) = γ m 3 ( )dτ (5.5) Um die Gvittionskft unbhängig von de Pobemsse m zu mhen, definieen wi ls Gvittionsfeld: 5.2 Gvittionspotentil g( ) = γ g( ) def = ( ) m (5.6) ρ( ) 3 ( )dτ (5.7) In einem zentlen und konsevtiven Kftfeld eine Mssenveteilung (Mssenpunkte ode kontinuielih) ht ein Teilhen de Msse m die potentielle Enegie ode llgemeine: U () = γ m U i () = γ m m i i (5.8) ρ( ) dτ (5.9) Anlog zum Gvittionsfeld definieen wi ls Gvittionspotentil potentielle Enegie po Einheitspunktmsse: G() def = U() m = γ ρ( ) dτ (5.0) 86
5.3 eldgleihungen Zu Heleitung de eldgleihungen fü ds Gvittionsfeld (späte uh fü elektishe und mgnetishe elde) sind zwei fundmentle Integlsätze von Bedeutung:. Guß she Stz: ü ein beliebiges ektofeld g( ) in einem olumen mit de Obeflähe gilt: ( ) g( )d f = = div g()dτ g( )dτ (5.) df M dτ Abb. 5.2: dτ = olumenelement; d f = lähenelement (geihtet in Nomlihtung nh ußen); ( )... df = Integl übe die lähe, die umshließt Mit dem Guß shen Stz weden die Eigenshften eines ektofeldes g( ) (z.b. des Gvittionsfeldes) im Innen eines beliebigen olumens mit denen des eldes uf de Obeflähe veknüpft. 2. Stokes she Stz: Gegeben ist eine Kuve, deen Umlufsinn beknnt ist. Übe diese Kuve wid eine lähe gelegt, die ls Rnd ht. (Mn knn sih ds vostellen, wie eine Seifenblse kuz vo dem Ablösen von de Dhtshlinge, ode wie ein Shmettelingsnetz, ds n einem Dhtbügel befestigt ist.) g( )d ( ) l = ot g( ) df (e) = ot g( ) = g( ) = ( ) g( ) df (5.2) (e) y g z z g y z g x x g z x g y y g x Aus dem Stokes shen Stz geht hevo, dss ot gd f unbhängig von de om und de Göße de lähe ist und nu vom Rnd diese lähe bhängt. Stz : Es gilt stets fü ds Gvittionsfeld: ot g( ) = g( ) = 0 (5.3) 87
df M dl Abb. 5.3:... d l = geshlossenes Linienintegl übe die Kuve ; d l = Linienelement von ; ()...d f = Integl übe die lähe mit dem Rnd Beweis: Wi möhten diesen Stz uf zwei Aten beweisen. ) Mit Hilfe des Stokes shen Stzes: Abb. 5.4: A = E ot g( )d Stokes = g( )d l (e) ( ) Nh (5.6) ist g( ) = m g( ) = G( ) Nh (5.4) ist ( ) = U() g( ) = G( ) Nh (5.0) ist U() = m G() g( ) = G( ) g( )d f = = G( )d l = d be A g( )d l [ ] E G() A = E ist g( )d f = G( E ) G( A ) = 0 D dies fü jede Göße und Oientieung de lähe gilt, ist uh de Integnd ot g( ) = 0. b) Duh Nhehnen: 88
ot g() = ( ) G() = ( )G() = y z z y z x x z x y y x (G() ) = 0 0 0 Z.B.. Zeile: 2 y z G 2 z y G = 0 usw. D G() = γ ρ( ) dτ, sind lle gemishten zweiten Ableitungen de unktion G stetige unktionen, lso uh vetushb. ot g( ) = 0 q.e.d. Stz: Ds Gvittionspotentil efüllt die Poisson-Gleihung: G() = 4πγ ρ( ) (5.4) = = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = div gd = Lple-Opeto Beweis: Ein Mssepunkt de Msse m i m Ot i ht ds Kftfeld: g i ( ) = γ m i i 3 ( i) Legt mn den Uspung des Koodintensystems in den Mssepunkt m i, so ist i = 0: g i ( ) = γ m i 3 = γ m i 2 ˆ Wi legen um m i ein beliebiges olumen mit de Obeflähe mit beliebige om und bilden ds Obeflähenintegl: g i ( )d f = γm i 2 ˆ d f Duh ds Sklpodukt ˆ d f = ˆ d f osα mit α (ˆ, d ˆf), kommt nu de Teil von d f zu Geltung, de pllel zu ˆ steht. Diesen Teil nennen wi d f. Es gilt: d f = df osα Gleihzeitig ist be d f = 2 sinϑdθdφ (in Polkoodinten), so folgt: g i ( )d f = γm i = γ m i 2π = 4πγ m i 2 }{{} ˆ n 0 = 2 sinϑ dφdϑ }{{} df os α sinϑdϑ = γ m i 2π 2 89
^ α df m Abb. 5.5: df ^ α df m Abb. 5.6: Wenn m i ußehlb de lähe liegt, titt mindenstens zwei Ml duh die lähe. D beim Ein- und Austitt de Winkel α einml stumpf und einml spitz ist, de os α lso bwehselnd positiv ode negtiv wid, heben sih die Anteile g( ) d f beim Integieen übe die gesmte lähe gegeneinnde uf. Also ist: g i ( )d f) = 4πγm i g i ( )d f = 0 m i innehlb de lähe m i ußehlb Ht mn sttt eines einzelnen Mssepunktes eine Mssenveteilung, so ist m i duh ρ( )dτ zu esetzen: Nh dem Guß shen Stz ist: g( )d f = γ 4π ρ( )dτ 90
γ 4π g( )df = ρ( )dτ = div g( )dτ div g( ) dτ }{{} g ( g( ) + γ 4πρ( ) ) dτ = 0 D diese Gleihung fü jedes beliebige olumen efüllt ist, muss de Integnd stets Null sein. g( ) = div g( ) = 4π otγρ( ) D g( ) = G() w: div G = G = G = 4π ρ( ) 4πγ ρ( ) 5.4 Beispiele. Beispiel: Homogene Kugel mit Rdius (z.b. Ede) M Abb. 5.7: = Rdius de homogenen Kugel (ρ = onst.) mit de Msse M = ρdτ; = olumen (Kugel) mit dem Rdius und dem Mittelpunkt im Mittelpunkt de Mssenveteilung Die Poissongleihung lutet: G() = g( ) = +4πγ ρ( ) D ds Poblem kugelsymmetish ist, ist g nu eine unktion des Abstndes vom Mittelpunkt. Wi legen um die Edkugel ein (Kugel-)olumen mit de Obeflähe. Duh Integtion übe ds olumen folgt ) ll > : D ρ() fü > gleih Null, egibt ds ehte Integl: g( )dτ = 4πγ ρ( )dτ (5.5) 4πγ ρ( )dτ = 4πγ M 9
Aus dem Guß shen Stz folgt unte de Beüksihtigung, dss g() bei diesem kugelsymmetishen Poblem imme pllel zu d f (einem lähenstük von ) ist. g( )dτ }{{} = g()d f = }{{} g () df Guß g d f = g ()4π 2 }{{} = 4πγ ρ( )dτ = 4πγ M (5.5) g () = γ M 2 g ist die Rdilkomponente von g(). In diesem ll ist g () = ± g(). df = 4π2, d übe die Obeflähe de Kugel mit dem Rdius integiet wid. b) ll < : D jetzt übe eine Kugel integiet wid, die kleine ist ls die homogene Kugel (z.b. Edkugel), egibt ds Integl Nh (5.5) ist: 4πγ ρ( )dτ = 4πγ 4 3 π3 ρ() = 4πγ 4 3 π3 ρ() }{{} M 3 3 g()dτ = 4πγ ρ( )dτ = 4πγM 3 3 und nh dem Guß shen Stz: g()dτ = }{{} Guß g () = γ M 2 g()d f = g ()4π 2 = 4πγM 3 3 Ds Gvittionsfeld lässt sih dstellen ls Gdient des Potentils: g( ) = G() D g und G nu von bhängen, knn mn einfhe sheiben: Duh Integtion diese Gleihung ehält mn g () = G() ü > ist G() = G() = g ()d ( γm )d 2 = γ M 92
ü < ist G() = = γ M ( ) γ M 2 d ( 3 2 2 2 ) 2 ( γ M ) 2 d 2. Beispiel: Hohlkugel mit dem Rdius : Die Msse de Kugel befindet sih uf eine venhlässigb dünnen Shiht uf de Obeflähe (z.b. Weihnhtskugel). Legt mn um die Hohlkugel ein (Kugel-)olumen mit dem Rdius und de Obeflähe = 4π 2, so ist hie wie beim Beispiel : ) ll > : G() g () ~ ~ 2 ~ ~ 2 Abb. 5.8: g()dτ = }{{} Guß = }{{} (5.5) g = γ M 2 g()d f = g () df = g ()4π 2 4πγ ρ()dτ = 4πγ M b) ll < : Ds Kftfeld in de Kugel ist gleih Null, weil sih die gesmte Msse de Hohlkugel ußehlb des olumens befindet. g () = 0 Ds Gvittionspotentil ehält mn uh hie wiede duh Integtion nh d: 93
) ll > : G() = g d = γ M b) ll < : G() = ( γm ) 2 d (0) }{{} =0 d = γ M Tägt mn g () und G() gegen uf, so sieht mn, dss sih ds eld und ds Potentil de Hohlkugel nu im Beeih < von de homogenen mssegefüllten Kugel untesheiden. G() g () ~ ~ 2 Abb. 5.9: 94